Геометрический смысл дифференцируемости. Уравнение касательной. Дифференциал

**Дифференциал** - линейная часть приращения функции - т.е. $(*)$ $$\Delta f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) = \underbrace{ f'(x_{0})\Delta x }_{ (*) } + o(\Delta x),~~ \Delta x \to 0$$ Обозначение: $df(x_{0}) = f'(x_{0})dx$

**Касательная** к ${} f(x) {}$ в точке $x_{0}$ - прямая такая, что 1. Она проходит через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$ 2. Расстояние от графика $f(x)$ до касательной - о-малое от приращения аргумента.

$$y(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})$$

$f(x)$ дифференцируема в $x_{0} \iff \exists$ касательная в точке $x_{0}$, при этом $y(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})$ - уравнение касательной.

$\Large{\implies}$ !tangent.svg#invert_light Запишем приращение функции: $$\Delta f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) = f'(x_{0})\Delta x + o(\Delta x)$$ Подставим $\Delta x = x-x_{0}$ и перенесём $f(x_{0})$ в правую часть. Получим: $$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + o(x - x_{0})$$ Геометрически можем определить следующее (см. рисунок): $$f'(x_{0}) = \mathrm{tg} \alpha \implies \cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f'(x_{0}))^{2}}} = \dfrac{\rho}{|f(x)-y(x)|}$$ где $\rho$ - расстояние между $f(x)$ и $y(x)$ Следовательно: $$\rho = \dfrac{|f(x)-y(x)|}{\sqrt{1 + (f'(x_{0}))^{2}}} = \dfrac{|o(x-x_{0})|}{\mathrm{const}} = o(x-x_{0})$$ Получаем, что в расстояние $\rho$ стремится к $0$ быстрее, чем $x - x_{0}$, а значит $y(x)$ - касательная в $x_{0}$ $\Large{\impliedby}$ Так как $y(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})$ - касательная в $x_{0}$, то при $x \to x_{0}$: $$|f(x) - y(x)| = o(x-x_{0}) \implies f(x) = y(x) + o(x-x_{0})$$ Подставим $\Delta x = x - x_{0}$, получим: $$\begin{align} f(x_{0} + \Delta x) &= f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + o(\Delta x) \\ f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) &= f'(x_{0})(x-x_{0}) + o(\Delta x) \\ \Delta f(x_{0}) &= f'(x_{0})(x-x_{0}) + o(\Delta x) \end{align}$$ А значит $f(x)$ - дифференцируема по определению. $~~~\square$